Học toán ở bậc đại học như thế nào?

Dịch từ tài liệu “How to Study Mathematics” của tác giả Lawrence Neff Stout, khoa toán đại học Illinois Wesleyan.

Bài luận này mô tả một số chiến lược học môn hoán ở cấp độ đại học. Các tiểu đoạn có tiêu đề như sau

  1. Toán đại học khác toán phổ thông như thế nào?
  2. Chúng ta nên làm gì với những định nghĩa
  3. Định lý, Mệnh đề, Bổ đề, Hệ quả
  4. Lắp ráp các đối tượng với nhau
  5. Phương pháp hiểu chứng minh
  6. Phát triển kỹ thuật (giải toán)
  7. Một vài gợi ý cuối

Toán đại học khác toán phổ thông như thế nào?

Trong toán phổ thông, bạn sử dụng rất nhiều thời gian để học các thuật toán và các kỹ thuật biến đổi mà bạn được kỳ vọng rằng bạn có thể áp dụng trong một số tình huống được mô tả rõ ràng. Sự hạn chế này về mặt tài liệu và những kỳ vọng về thành tích của bạn có lẽ đã khiến cho bạn phát triển những thói quen học tập mà có thể phù hợp với toán phổ thông nhưng có thể không đủ cho toán đại học. Điều này có thể là nguồn gốc của sự thất vọng cho bạn và cho giáo viên của bạn. Mục tiêu của tôi khi viết bài luận này là nhằm giảm nhẹ đi sự thất vọng này bằng cách đưa ra một số chiến lược học tập mà có thể giúp bạn hướng những khả năng và năng lượng của mình đi theo một định hướng cho năng suất tốt.

Sự khác biệt chủ yếu đầu tiên giữa toán phổ thông và toán ở bậc đại học là mức độ quan trọng của những cái mà sinh viên gọi là lý thuyết — phát biểu chính xác của những định nghĩa, định lý và những quá trình logic mà nhờ nó những định lý đó được xác lập. Đối với nhà toán học, những phát biểu này, cùng với những ví dụ minh họa thể hiện tại sao những định nghĩa được lựa chọn là những lựa chọn chuẩn xác và thể hiện những định lý có thể được sử dụng như thế nào trong thực hành, là bản chất của toán học. Một mô tả môn học (course description) có sử dụng thuật ngữ “chặt chẽ” ngụ ý rằng những định nghĩa và định lý sẽ được phát biểu với sự cẩn trọng đáng kể và những chứng minh cho những định lý sẽ được đưa ra thay vì chỉ đưa ra những phát biểu có vẻ đúng. Nếu cách tiếp cận của bạn là đi thẳng đến vấn đề bằng cách đọc lướt qua lý thuyết, khía cạnh này của toán đại học sẽ gây ra những khó khăn cho bạn.

Sự khác biệt thứ hai giữa toán đại học và toán phổ thông đến từ cách tiếp cận đối với các kỹ thuật và các bài toán áp dụng các kỹ thuật này. Ở cấp ba, bạn học một kỹ thuật tại một thời điểm, chẳng hạn một danh sách bài tập hoặc một bài học về cách giải phương trình bậc hai bằng cách nhân tử hóa hoặc sử dụng công thức bậc hai, nhưng một bài học sẽ không dạy bạn cả hai thứ và không yêu cầu bạn quyết định cách tiếp cận nào là tốt hơn đối với các vấn đề cụ thể. Bạn học các kỹ thuật riêng biệt rất tốt trong cách tiếp cận này, nhưng bạn nhiều khả năng sẽ không học cách “tấn công” một bài toán mà bạn không được dạy kỹ thuật nào sẽ dùng vào bài toán đó hoặc đâu là thứ không giống hoàn toàn với những bài tập áp dụng mà bạn đã thấy. Toán ở bậc đại học sẽ cung cấp nhiều kỹ thuật mà có thể được áp dụng vào một loại bài toán cụ thể, tức là các bài toán riêng biệt có thể có nhiều cách tiếp cận, một vài trong số đó sẽ tốt hơn những cái khác. Một phần trong công việc giải bài toán như thế nằm ở việc chọn lựa kỹ thuật phù hợp. Điều này đòi hỏi những thói quen học tập giúp phát triển óc phán đoán cũng như năng lực về kỹ thuật giải toán.

Chúng ta sẽ bắt đầu chủ để về phương pháp học toán bằng cách xem xét từng khía cạnh riêng biệt. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét những định nghĩa, bởi những định nghĩa hình thành nên nền tảng cho bất kỳ phần nào của toán học và chúng là cốt yếu cho việc hiểu những định lý. Sau đó, chúng ta sẽ nói về các định lý, bổ đề, mệnh đề, hệ quả và phương pháp học tập cách các chủ đề này được kết hợp với nhau. Tiếp theo là chủ đề về chứng minh, phương pháp giải mã chúng và tại sao chúng ta lại cần chúng. Cuối cùng, chúng ta sẽ thảo luận về việc phát triển óc phán đoán trong việc giải quyết bài toán. Continue reading

Advertisements

Các câu hỏi toán Terence Tao đã thử sức năm 8 tuổi

Trích từ bài viết Thần đồng Toán học Terence Tao và một vài bài học rút ra về bồi dưỡng tài năng – Trần Văn Nhung, trên trang hocthenao.

============================================

“Vào ngày 16-7-1983, một ngày trước ngày sinh nhật lần thứ 8 của Terence Tao, Ken Clements – một chuyên gia về giáo dục những trẻ em có năng khiếu toán học, đã đến thăm nhà cậu bé để đánh giá khả năng của cậu.

Trong quá trình đánh giá, anh đã đưa cho Tao một chuỗi các câu hỏi được viết ra giấy, và Tao trả lời bằng miệng mà không hề viết gì ra giấy. Tất cả các câu trả lời của cậu đều đúng. Dưới đây là các câu hỏi và câu trả lời của Tao.

Câu 1: Hai đường tròn có bán kính bằng 2cm và 3cm. Khoảng cách giữa các tâm của chúng là 4cm. Vậy chúng có giao nhau hay không?

Câu 2: Một chiếc kim giờ sẽ tạo ra một góc bằng bao nhiêu trong 20 phút?

Câu 3: Một can dầu nặng 8kg. Khi rót một nửa số dầu ra khỏi can thì can nặng 4,5kg. Hỏi cân nặng của chiếc can rỗng là bao nhiêu?

Câu 4: Bây giờ là mấy giờ nếu khoảng thời gian kể từ giữa trưa đến bây giờ bằng 1/3 quãng thời gian từ bây giờ đến nửa đêm?

Câu 5: Chú đi bộ từ nhà tới trường trong 30 phút, còn anh của chú phải mất 40 phút. Anh chú rời khỏi nhà trước chú 5 phút. Vậy trong bao nhiêu phút thì chú sẽ vượt được anh ấy?

Câu 6: Chu vi của một tam giác vuông là 5cm. Độ dài mỗi cạnh bên của nó là 2cm. Vậy chiều dài cạnh thứ ba bằng bao nhiêu?

Câu 7: Một lớp học nhận được một số cuốn vở thông thường và một số cuốn vở đặc biệt, tất cả có 80 cuốn vở. Một cuốn vở thường có giá 20 cent và một cuốn vở đặc biệt có giá 10 cent. Hỏi lớp học nhận được bao nhiêu cuốn vở mỗi loại?

12 sự thật toán học “hại não”

Mình mới đọc được 12 sự thật toán học rất hại não, thấy thú vị nên quyết định tóm tắt lại nội dung. Bài gốc đăng trên Business Insider là The 12 Most Controversial Facts In Mathematics

Mình khuyến nghị bạn nên cố gắng tự tìm ra câu trả lời. Khi nào bí quá mặc dù đã rất cố gắng thì hãy xem lời giải.

===========================================

Fact #1. Bài toán Monty Hall

Bạn tham gia một trò chơi truyền hình trong đó người MC đưa bạn đến với 3 cánh cửa. Đằng sau 1 trong 3 cánh cửa là một chiếc xe ô tô, đằng sau hai cánh cửa còn lại không có gì. Bạn được yêu cầu chọn một cánh cửa. Sau đó MC sẽ mở một cánh cửa trong hai cánh cửa còn lại để cho bạn biết đằng sau cánh cửa đó không có gì. MC hỏi bạn rằng: liệu bạn có ý định đổi cánh cửa mình đã chọn hay sẽ giữ nguyên lựa chọn bạn đầu của mình. Vậy bạn nên làm gì trong trường hợp đó?

Fact #2

Chứng minh rằng 0.999… = 1

Fact #3

Số lượng số tự nhiên chẵn bằng số lượng các số tự nhiên.

Fact #4. Benford’s law

Chữ số 1 xuất hiện ở vị trí đầu tiên trong 30% trong số các số được sử dụng trong thực tế.

Fact #5. Nghịch lý ngày sinh nhật (The birthday paradox)

Giả sử trong văn phòng làm việc có 23 nhân viên. Tính xác suất để hai người trong văn phòng có cùng ngày sinh nhật. (Giả sử không có ai sinh vào ngày 29/2).

Hint: Xác suất khoảng 50%

Fact #6. The broken water heater problem

Máy sưởi ở nhà bạn bị hỏng. Bạn đem đến cho một người sửa. Anh ta nhanh chóng sửa xong cho bạn, và bạn trả tiền cho anh ta. Xác suất nào lớn hơn: 1) Anh ta là nhân viên kế toán; 2) Anh ta vừa là nhân viên kế toán vừa là thợ sửa chữa.

Fact #7. Nghịch lý chiếc hộp của Bertrand (Bertrand’s box paradox)

Có 3 cái hộp. Trong mỗi hộp có chứa hai vật.

  • 1 hộp có 2 thỏi vòng
  • 1 hộp có 2 thỏi bạc
  • 1 hộp có 1 thỏi vàng và 1 thỏi bạc

Bạn chọn ngẫu nhiên 1 hộp, sau đó chọn ngẫu nhiên 1 thỏi trong đó. Nếu bạn chọn được thỏi vàng thì xác suất để thỏi còn lại cũng là thỏi vàng là bao nhiêu?

Fact #8. Ước lượng số pi từ vòng chơi ném tên

Ước lượng số pi bằng cách chọn liên tục các điểm một cách ngẫu nhiên trong hình vuông sau đây.

スクリーンショット 2016-02-04 14.27.22

Fact #9. Tổng chuỗi điều hoà không hội tụ

\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots

Fact #10.

Số lượng bạn trung bình của những người bạn của bạn nói chung là nhiều hơn số lượng bạn của bạn.

Fact #11.

Có thể tạo ra hình bình hành từ các hình có hình dạng kỳ dị. Xem cách chứng minh tại đây.

Fact #12. Bài toán 3 người tù

Có 3 người tù A, B, và C bị nhốt trong 3 phòng riêng biệt. Ba người đều bị nhận hình phạt tử hình. Nhân dịp đặc xá, chính phủ đã chọn ngẫu nhiên một trong ba người để ân xá (2 người còn lại vẫn bị tử hình). Người gác ngục biết ai sẽ được tha nhưng anh ta là người kín miệng nên sẽ không nói ra điều này.

Người tù A bạo gan hỏi người gác ngục xem ai trong hai người B hoặc C sẽ bị tử hình. Anh ta nói với người gác ngục như sau. “Nếu B được ân xá, hãy nói tên của C. Nếu C được ân xá, hãy nói tên của B. Còn trong trường hợp tôi được ân xá, hãy tung đồng xu để quyết định xem sẽ nói tên ai trong hai người B hoặc C.” Người gác ngục nói cho A biết rằng B sẽ bị thi hành án tử hình.

  • A rất mừng vì nghĩ rằng xác suất mình sống sót sẽ tăng lên từ 1/3 (trong số A, B, C) lên thành 1/2 (trong số A và C).
  • A kể với C về điều đó. Đến lượt mình, C cũng rất mừng vì anh ta suy luận rằng xác suất A được ân xá vẫn là 1/3 và xác suất anh ta được ân xá là 2/3.

Hỏi trong A và C, ai là người đã tính toán sai?